DHCP
Вы проснулись после дикой пьянки. Первые ваши слова "кто я?" и "где я?". Сосед, который не запивал водку пивом, вам сообщает все ваши параметры: кто вы и где. Этот сосед выступает в роли DHCP-сервера.
Учтите, что в сети могут быть так называемые "ложные DHCP-сервера", например жена - на ваш вопрос "кто я?" она выдаст неверную информацию: "алкоголик ты проклятый". Так что не всегда динамическая выдача параметров безопасна, рекомендуется записывать свои параметры (как зовут, ваш адрес и т.д.) на бумажке.

Маршрут по умолчанию
Подойтите к прохожему и спросите "не подскажите ли вы как пройти к моргу имени Немировича-Данченко?". С большой долей вероятности вас пошлют на х$#. Так вот это и есть маршрут по умолчанию, другими словами если адрес назначения не известен, то пакеты посылаются на маршрут по умолчанию (синонимы: шлюз по умолчанию, default gateway).

Понятие TTL
Представьте себе, что вам 5 лет и вы хотите кушать. Вы идете к папе и говорите: "Папа, я хочу кушать". Ваш папа смотрит телевизор, согласно таблице маршрутизации он посылает вас к маме. Вы идете к ней и просите "Мамааа, я хочу кушать". Мама болтает с подругой по телефону и согласно своей таблице маршрутизации посылает вас к папе. И так вы ходите как дурак от папы к маме и обратно, туда-сюда, туда-сюда, а все потому что криворукие админы (родители папы и мамы) неправильно настроили таблицу маршрутизации. Чтобы защититься от таких ситуаций придумали понятие TTL (Time To Live), что применительно к нашей ситуации означает количество терпения у мальчика, пока он не скажет "задолбало" и не упадет перед ногами мамы или папы в беспомощном состоянии. Последний, по правилам (стандарты - это "так заведено в семье" , обязан послать короткий нелестный отзыв адрес того, кто послал мальчика кушать. Это так называемый icmp-пакет "мальчик издох"

Ping
Вы конечно бывали в ситуации "сам дурак". Вы кричите "Петя ты, чудило", а в ответ слышите "Вася, сам чудило". Это простейший пинг. Вы только что пропинговали Васю. Не все отвечают на пинги, особо культурные, например Microsoft.com не утруждают себя реагированием на ваши запросы. С такими переругиваться бесполезно, мы знаем, что они слышат и злятся, но реакции добиться не можем. Тем не менее, пинг - неплохой способ узнать жив ли хост, ведь пиная труп ногами не добьешься реакции "сам дурак"

Traceroute
Представь себе, что ты живешь на 9м этаже и хочешь узнать всех жильцов которые живут от тебя до Клавки с 3го. Ты берешь взрывпакет и, исходя из формулы свободного падения, рассчитываешь время взрыва пакета над 8м этажом. Это TTL=1. После того как пакет #банет - выглянет озверевшая рожа соседа с 8го этажа. Время реакции зависит от загруженности сервера, т.е. от занятости соседа и от шейпов, т.е. в воздухе ли ваша система или ты живешь на планете, где атмосфера жидкий азот. Так вот, если вообще не дождешься ответа - твой сосед глухой - у него запрещены icmp ответы, либо он запретил их только для тебя если ему уже поднадоели твои финты и он научился тебя игнорировать. Дальше выставляешь TTL=2 и т.д. Не забывай, что если Клавка живет выше тебя - это No route to host